§ 建 構 式 數 學 教 學 之 分 析 與 批 判 §

本文錄自 趙元寧

 

所謂建構主義(construtivism)認為學習者本身在習得知識中扮演一個最根本且主動的腳色,

並從中建構並重組自己獨一無二的世界(余民寧,86)亦即在學習活動中每個學生都在組合

、轉換,或忽略部分傳遞訊息的意義,所以每位學生所持的看法與解題角度都有所不同

(Von Glasersfeld 1989)。

 

1.      前言:

 

近年來,亞洲國家地區學童在數學上的優越表現一直引起注目,在國際矚目的國際奧林匹克數學競賽中,我國才參賽六年,成績卻與老牌參賽者英美等國並駕齊驅。但另一方面,台灣中小學學生數學成績低落的現象卻持續存在,就連數學是優異的學生,也是「十分痛恨數學」,教育部曾對中小學學生課程喜好程度進行調查,發覺有三分之一的小學生、四成六的國中生,最害怕的課程是數學,而且隨年級增加,討厭數學的比例越來越高,這是為甚麼呢?

日前教育部檢討當今的數學教育,發覺我國學童傾向死記公式,面對非例行性問題時,不知所措,為應民主時代潮流,及參考美國數學教師學會﹝nctm﹞於1989年公佈之〈學校數學課程與評量標準〉,於民國八十二年九月公佈新「國民小學課程標準」,即主張「知識非經灌輸記憶所得,是由學習者自行建構而成」,強調數學教學的目的不只要求學生會算、會答,更重要的是要有真正的解題能力,並由生活中主動去探索數學並由與他人的團討中達到合作學習,練習表達自我及培養尊重他人的民主精神。

 

2.      建構式教學之分析:

 

1.      建構主義之內涵:

 

一個人如何知?如何學?學習的歷程是如何?這些問題一直是知識論及學習心理所關心的事。近年來,許多科

學教育學者對於學生學習數學所持的觀點皆傾向於建構主義(莊嘉坤,民86)。所謂建構主義(construtivism)認為學

習者本身在習得知識中扮演一個最根本且主動的腳色,並從中建構並重組自己獨一無二的世界(余民寧,86)亦即

在學習活動中每個學生都在組合、轉換,或忽略部分傳遞訊息的意義,所以每位學生所持的看法與解題角度都

有所不同(Von Glasersfeld 1989)。

 

建構主義學者討論知識是如何被認知者主動建構,而不是被動接受的過程,他們認為學習是一種主動參與的過

程,著重的是the way to knowingtheory of knowing(VonGlasersfeld) 因此又有人認為這是一種動態的認識理論。

 

建構主義是西方近數十年來興起的知識論,主張不論是個人或大眾共同的知識,每個人都會建立一個對環境的

心智基模,用以解釋和了解新的經驗,當然這些知識的架構也會因應新經驗而重新修正、組合和擴充改變(郭重

吉,民84)。根據美國數學教育家戴維斯的說法,建構主義是數學學習心理的一項新進展,其申言學習不是一種

被動的「複製」活動,而是學習者在認知結構上的主動建立、改造,及發展自我的過程。

 

2.      舊課程的建構主義與新課程的結構主義之歧異:

 

1.建構主義論者認為,知識並非由被動收穫而得,而是認知個體主動建造構築而成的。而結構主義者認為,知識是客觀的是可以傳授的。

 

2.建構主義論者認為,知識獲得的方式是調和的,認知的功能是組織外來的經驗世界,而非用來發現已存在的本體現實。結構主義者認為知識獲得來自外在經驗世界的理解,認知的功能在於發現已存在的本體現實。

 

3. 建構論的數學學習觀,則特別強調:

 

數學知識是學習者主動建構的。

數學知識無法被教給兒童的。

數學知識是兒童由數學活動中建構發展出來的。

數學學習必須積極運用其既有的知識去建構新知識。

結構論數學學習觀特別強調:

數學學習的意義,在於使兒童了解學習數學結構上的意義。

透過「同構」的概念,數學知識可以被教給兒童。

數學知識是兒童由具體物操作中,逐漸抽象化來的。

數學學習必須分析知識結構,以此結構組織教材。

 

4.建構式教學之教學模式:

教師佈題:以版書或口頭佈題,在確定學生已經了解題。

學生個別或分組合作解題。

發表與討論:學生提出他們的解題策略與大家一起討論、辨證。

 

5.建構式教學之教學流程:

學生之學前分析 → 教師佈題→建構式教學環境→題庫 ← 教學評量← 學生建構知識

 

1.      實施過程:

 

1.      民國829月,教育部公佈新「國民小學課程標準」, 明定國小數學科教育總目標為:

 

【輔導兒童從日常生活經驗鐘,獲得有關數學的知識,進而培養有效運用數學方法,以解決實際問題的態度和能力。】

 

2.      分項目標為:

 

1.      養成主動地從經驗中,建構及理解數學的概念,並透過了解及評鑑別人解題的過程,進而養成尊重別人觀點的態度。

 

2.養成從數學的觀點考慮週遭事物,並運用數學知識與方法解決問題的能力。

 

3.培養以數學語言溝通、討論、講道理和批評事物的精神。

 

4.養成日常生活中善用各類工具從事學習及解決問題的習慣。

 

(三)此次數學課程標準的修訂原則為:

 

1.      配合社會的需求,推動民主化社會的趨勢。

2.      落實以學生為本位的觀點。

3.      強調數學是一種自我觀念的連結,是一種解題的過程。

 

(四)自新課程公佈之後,全省各地均有參與實驗的小學,迄今已有六年,期間並開放數學教科書有國編版及民編版並由老師自行選擇上課之版本,並於八十五學年度起全面實施新課程。

 

1.      施行現況與批判:

 

(一)一些教師的教學實況:

新細明體;mso-font-kerning:0pt'>新課程強調培養兒童解題能力是提昇兒童才智的泉源。

 

2.   批判與分析:

 

1.數學新課程的立論:

 

建構教學好比種菜,農夫(老師)要知道菜(學生)的生長條件與特色,在菜的成長歷程中,農夫施肥洒水讓菜自由吸收成長,其他要做的就是拔草的工作(幫學生釐清觀念),使養分不備草奪食,讓菜順利長大。

而農夫更要明白甚麼是菜甚麼是草(抓住學生學習主題)才不會草菜不分,草沒拔倒拔光了菜。

建構式教學法不同於傳統數學教學「老師怎麼教,學生就怎麼學」而強調「學生怎麼學,老師就怎麼教」,以學生為本位,讓每個學生都能以其舊經驗和認知層次去思考解題,從此建構出屬於自己理解的新知識,這樣學習才是有意義的,可以內化而成個體的智能的。

傳統數學教學直接教導學生一套快速便捷的解題法,並透過不斷的反覆練習強記下來,但過不了多久並在考試過後就忘了大半。而建構式教學是由學生自己消化吸收才能儲存到長期記憶中歷久不忘。

建構式教學的目的不只要學生會算會答,更重要的是要有真正解題的能力和積極的態度。唯有兒童主動去探索去應用,數學才會變得生動有意義。否則只是在做複製考卷的答案和分數的工作而已。

民主化與分工合作是為迎合時代的腳步,讓孩子在建構自己的知識時也能尊重他人、採納人的意見,並於表達自己的觀念時促進自己的推理能力,建立自我的信心。

依據皮亞結發展階段論與布魯那表徵系統論的觀點兒童學習應由具體物、具體活動開始。

 

2.有關新課程的疑慮:建構理論被提出已有一、二十年歷史,按理說它已經歷一段不算短的考驗期,但為何未見採行的國家提出具體的成效或相關研究報告,來證明它的優勢?

 

理論上,建構下的兒童發表力、推理創造力皆優於傳統,但一個腦袋空空的低智學生,要拿甚麼來建構?不但小組討論他插不上嘴,甚至因為同學五花八門的解題方法把他給搞得更糊塗了。

資料顯示,新數學課程中來自家長的質疑和阻力相當多,一方面是基於了解不夠,另一方面則是因學生的表現不很理想。

經由學生自己建構習得的,多半是較低層次的解題方式,如何引導學生提昇回歸最終的數學層次,是師者重要且必須的職責與考驗。

 

在講求「尊重、建議、不勉強」的精神下,學生若一直固著於自己的錯誤方法時,該怎麼辦呢?

 

3.建構式數學對於表徵性運算差的孩子是個難以適應的困擾:

 

★國立台北師院初教系講師─鍾聖校有個不適應目前建構式數學新教法的孩子,以下是他對建構式數學教學提出之批判:

 

「為甚麼不讓孩子光明正大的使用傳統直式計算?只會用直式

計算的就一定是腦筋刻版且機械思考的人嗎 ?數學教育學者憑甚麼只以『數』的算法來壟斷孩子的思考或創造力」

「我搜集了孩子在數學課中一些似是而非,湊『數』的,勉強套學校建構式解題法則的答案,從這些作答方式,我感覺建構式數學的教學對象應該是已經懂得數學運算奇妙的人,換言之,它不是教不會的孩子學,而是要已經會的孩子玩。會和不會的分別就在前者已發現運算的韻律,而後者則可能連數的表徵都陌生,更別談計算的韻律或規律了。」

 

「我懷疑還有不少類似我兒的情形,他們可能較適合傳統的教學方式,在傳統的教學方式下他們仍可以安然度過作業的要求和評量,而能在其他學習領域發展合作學習、發表能力、創造性解題能力,乃至民主素養等建構式數學家強調的美好特質。這些孩子不必擔心,因為不必為不『真正』懂得算數這種語言及其文法─運算邏輯,而在建構式數學『遊戲』過程中,出盡洋相,被視為邊緣人或弱勢者」「建構式數學適合對數學較有天份的孩子,它提供給這些孩子『用心靈內在表徵進行數字運算』的舞台,但對於數表徵或運算差的孩子,這舞台卻是荊棘地,走上去都難,別說划出曼妙舞姿了。」

 

4.建構式數學教學應建立在定義性數學上:

 

數學定理原本就不是在於描述經驗世界,是沒有實質內容的(在瓶子中把一滴水銀和另一滴水銀加在一起,得到的是一滴水銀而非兩滴,所以1+1=2這個式不能被實際的經驗所證實),數學的定義皆是由定義而來的,所以建構式數學中教師常問學生

 

2+4=6是怎麼算出來的?」這種實在是太有學問而難以回答的問題。建構式數學教學老是要強調數運算與生活經驗世界的關聯或巧思(黃敏雄,1997)在此是否產生矛盾,在進入國中或高中後,數學層次加深而接受建構式教學的孩子只能以「形式運思」來解題,這恐怕會是很大的問題。

 

5.定義性數學教學的優位:

當教師強調建構式數學教學的趣味,但學生缺乏玩它的基礎時,兒童就難免會出現逃避、應付、及外表依樣畫葫蘆的行為,此時是否要優先考慮採取定義性數學教學?以下是其理由:

 

圖像思考強且亦分心的小孩宜從定義性數學開始入手,再導入經驗性教學。(就是右腦發達的孩子)

 

數字運算基本法則不是玩出來的,而是對數字規則、韻律的掌握。而規律如何存在?記憶是先決條件(如3+7=10而

30+70=100又300+700=1000)

 

幼兒學習主要依據增強原則,亦接受定義性數學「兒童日益長大,他們的概念學習才從行為論風格改變而更趨近認知論取(林清山,1994)定義性數學學習主要靠記憶和回饋對各種算式之反應,對則保留之,錯則改之,並以回饋強化之。兒童需先經此歷程建立了數的概念,才能進一步去進行各種數字的遊戲。

 

加強自動化數學教學,R.E.Meyer建議:「基本技能的記憶和問題解決中的『創造力』之間應做妥協。有效的教學應是折衷二種技巧,也就是確定學生基本技能的使用,達到自動化境界後才給於複雜的解題作業,但在此過程中,允許學生有時能享受解題的自由。」

6.據一些教師表示,接受新數學教學的孩子有些負面的特徵:

演算數字很慢對別人較高明且較有效率的解題方式不會欣賞,不會參考學習,反而沉溺於自己的「發明」中。

 

7.避免教學法的霸權當任何教學法宣稱它自己是某科最好的教學法,且透過行政措施,使全國各校通行時,它就不可避免的成為一種霸權。

兒童的能力是多方面的,當一個學科用一種高標或僅此一家的教學法要求學生,教師以一種有本是在來,如果跟不上就是你家的事的姿態引領學習流程,那麼兒童是否會由於他的一個弱點而使之全盤皆輸?在教學霸權下,孩子只能求助家長,家長只好求助家教。把學習當作發現和把學習當作建構,原本是件好事。但國內小學數學教學所提倡的只是三派建構論的某一派產物,即推行全國,這是否太過於武斷?

 

3.      相關之落實方案:

1.      對數學新課程的幾點建議

 

1.重視過程也重視結果:新課程的建構教學,式過程、手段,而非目的結果,教師切勿為建構而建構,以為建構就是「不管他,隨便他,只要他有辦法解出答案就好」忽略了歸納的工作,以「放縱」為「尊重」,在建後,給學生一個明確的科學的結論,讓學生充份理解構之,才是建樹又見林的做法。

 2.最好在二十人以下的小班或能力分組教學中施行:新課程的建構教學的精神在重視個別化,盡可能照顧到每一個別差異,但在傳統大班下,教師總是力不從心,而小組討論長久在鬧哄哄的氣氛下進行,難保學生的學習效率會有多高,要不然得採「同質能力分組教學」才能使學習步伐一致,達到相加相成的功效。

 

3.推廣校園數學步道:以北市萬福國小及北師附小所編之數學步道為例,靈活運用校園,充分發揮境教功能,最能符合新課程「生活處處有數學」的理念。在校園中師生不妨合作創思,一起製造一個屬於大家的數學步道。

 

4.建構與傳統融合:在傳統教學過程中加上學生的建構與啟發或在建構教學後加上傳統的經熟與統整,融合彼此的優點才是最好的改進!

 

1.      如何讓學生發表其數學解題策略:

 

1.      由教師行間巡視,找出不同的解題策略(包括錯誤的解法),以公全班討論。其優點是讓學生看到不同的解題策略,也可減少學生在聽每位學生發表說明時的枯燥。其缺點是教師要花相當的時間才能巡視到全班每一位學生,可能被教師找上台的都是那幾位學生,別的可能會有被落的感覺。

 

2.      請各組的某號上台發表其解題策略。此優點包括,每

位學生都有上台表演的機會,同時培養其表達的能力。

亦能以小組競賽的方法提高學生學習的意願。其缺點是

無法知道是否有其他的解法;或被點名上台的學生不敢

開口表達;或各組上台發表的解題策略都相同,若是如

此可請學生暫時不發表,以免底下的學生不耐煩。

 

3.      先請一位會解題的學生發表後,再問其他學生是否有不同的解法?若有,則請他上台發言。優點是自願上台,所以較不會發生上台不敢開口的現象。缺點是不敢發言的學生失去了許多的發言機會。教師在給於發表者強烈的稱讚時,可能讓其他的學生懷疑自己的解法,而不敢再發表不同的解法。

 

4.      讓願意發表者,都可以自由上台發表。缺點是可能發生學生過多而欲罷不能的現象,時間較不易控制。

 

5.      其他。如抽籤、跳號叫人、日期抽點等。

 

1.      增進學生勇於發表其解題策略的方式:

1.把較簡單的題目,留給不太敢發言的學生回答,這他就不會回答錯豁達不出來了。等學生培養了信心後再漸漸增加問題的深度,但以不超過學生的解題能力為限。

2.用小組比賽的方法,小組為了榮譽,成員中就會相互的

幫助,所以可將動靜或程度上不同的學生做一個平均的分

配,才能在彼此上做互補。

 

1.      先請一位同學發表其解法,再請其他不太發言的學生,重述前一位的說法。但最好不要讓學生以為你是在測試他有無認真聽課。

 

2.      讓一些學生發表後,再由兩個一組的學生把自己的解題策略說給對方聽,如此學生較無壓力,等習慣了表達後就可以上台了。

 

3.      對於不太敢發言的學生,只要他願意開口說一句話,並沒有將題解全部說完,都給予正相的鼓勵。

 

4.      不論採取哪一種方式都應該提供學生一個安全的發表環境,也就是說不論他的解題有所錯誤或不清楚,學生都不可以加以訕笑,應誠懇的提出,以免學生受挫更不敢發言。

 

1.      結語:

目前數學教育頗受建構主義影響,並以此作為基礎數學教育的教育理念,學生再也不是被動的學習,不再是老師的影印本或另一個分身,每一個人都來自不同的家庭都有自己獨特的生活經驗,並在傳播媒體多面傳遞知訊的影響下,學生有太多不同的想法。

當學生原本的自發知識與學校所學的有所衝突時,了解學生的想法是一個教師所應該先做的工作,其次才是選擇適合的教學方法幫助學生的學習、修正或重組。

如果教師忽略了學生的先前概念與先備知識,只做傳輸知識的工作,當新概念與學生先前的想法不能發生聯繫時,所得的觀念只不過是一些應付考試的無意義零碎片段。這些孤立為意義話的學習,極易被素樸(naive)世界觀所取代(劉宏文,1996),因此教學的任務是積極進有效的、有意義的學習。這也是建構式新數學教學理論所強調的教學效果,但事實果真如此嗎?亦是一種教育霸權下的假想的理想情形?人有很多種但一定都適合建構式教學嗎?而不管程度與否都要學生「創造」一套解題法會不會太過殘忍?

新式數學教學固然降低了「數學焦慮」,但在數學演練的純熟度上及層次上會不會降低了呢?雖然未來大學已不用再考,但工作求職上依然要求成績與文憑,這群解題速度慢的孩子能否適應這個社會?或是回家後又得去上補習班,這樣有甚麼意義呢?

數學建構教學法針對傳統教學弊端加以改革,有其不可磨滅的功效,然教學是一項藝術,運用之妙存乎個人,師者不應一成不辦而流於僵化,最好因人因地制宜,學生適合甚麼教學法就施於適當的教學法,這才是「因材施教」,不是嗎?

 

2.      參考書目:

 

1.      鄭毓信(1998):建構主義與數學教學。刊〈數學傳播〉第十二卷第三期。台北:中央研究院數學研究所。

 

2.      陳靜音(1998):活的數學─從食物的觀點看建構式數學教學。刊〈師友〉1998年十二月號第378期。台北:省立中小學校教職員福利金籌及管理委員會。

 

3.      梁慧芳(1998):建構主義的觀點如何應用在自然科教學。刊〈屏師〉87年3月第七期。屏東:國立屏東師範學院。

 

4.      邱花妹等(1998):春雨─希望工程師。刊〈天下〉1998年教育特刊。台北:天下雜誌社。

 

5.      郭換枝(1998):數學顆新課程對兒童智力發展之影響。刊〈國教輔導〉第327期第38卷第一期。台中:台中師院。

 

6.      鍾聖校(1998):論小學術學科建構式教學的普遍適用性。刊〈研習資訊〉第十五卷第二期。台北:中小學教師研習中心。

 

7.      呂玉琴(1998):如何讓國小學生發表期數學解題策略。刊〈研習資訊〉第十五卷第二期。台北:中小學教師研習中心。

 

8.      呂玉琴(1998):國小數學教室文化的不同風貌。刊〈國民教育〉第三十八卷第六期。台北:國立台北師範學院國民教育社。

9.      呂玉琴(1998):其實你不懂我的心─談國小數學教學。刊〈國民教育〉第三十八卷第六期。台北:國立台北師範學院國民教育社。

10.  謝新傳(1998):數學教科評鑑之我見。刊〈科學月刊〉第二十九卷第八期。台北:科學月刊雜誌社。

 

(十一) 葉啟村(1998):教兒童懂得去玩─談數學教學與遊戲。刊〈國教之友〉第四十九卷第四期。台南:台南師院。

 

(十二) 吳博雅(1998):國小建構式電腦輔助教學之研究。刊〈國教之友〉第四十九卷第四期。台南:台南師院。

 

(十三) 蔡聰明(1998):從蘇格拉底的教學法談起。刊〈科學月刊〉第343期。台北:科學月刊。

 

(十四) 陳淑美(1998):數學焦慮症新解藥。刊〈光華〉第二十三卷第七期。台北:光華雜誌社。

 

(十五) 陳盛政(1997):我國樹學科新課程改革走向。刊〈南投文教〉第八期。南投:南投縣政府。

 

(十六) 鄭榮祺(1998):我好像看到知識的建構。刊〈師友〉第378期。台北:省立中小學校教職員福利金籌及管理委員會。